In Kalkül I lernen die Schüler etwas über Derivate und den Prozess der Einnahme von Derivaten. Das Finden eines Integrals, das Hauptthema von Kalkül II, ist im Wesentlichen die entgegengesetzte Operation wie das Ableiten einer Ableitung. Wenn zum Beispiel die Ableitung von f (x) f '(x) ist, dann ist das Integral von f' (x) f (x) + C, wobei C eine beliebige Konstante ist. Wir müssen diese beliebige Konstante verwenden, weil die Ableitung einer Konstante Null ist. Um diesen Punkt zu verdeutlichen, erhalten wir die Antwort von 2, wenn wir die Ableitung von 2x + 4 und die Ableitung von 2x + 10 nehmen. Um dann das Integral von 2 zu nehmen, haben wir 2x + C, da wir nicht herausfinden können, wie die Konstante am Ende der Funktion war.

Integrale sind nicht nur das Gegenteil einer Ableitung, sondern auch ein äußerst leistungsfähiges mathematisches Werkzeug für sich und eine der wichtigsten mathematischen Entdeckungen aller Zeiten. Im Wesentlichen können Sie mit einem Integral als Funktion leicht die Größe bestimmter Objekte ermitteln, die mit Algebra außerordentlich schwer zu messen sind. Stellen Sie sich zum Beispiel die Funktion f (x) = x² – 4 vor und betrachten Sie den Bereich unter der x-Achse, aber über der Kurve. Die Form, die dies ergibt, ist keine Standardform, die wir aus der Geometrie oder mit algebraischen Methoden ermitteln können. Mit der Berechnung und der Verwendung eines Integrals können Sie diese Fläche jedoch genau in drei oder vier Schritten ermitteln. Dies ist die Kraft des Integrals und warum der Großteil von Kalkül II ihm gewidmet ist.

Genau wie bei Derivaten gibt es eine Handvoll Regeln und Richtlinien, die Sie lernen, um Ihr Leben zu erleichtern. Es gibt eine Reihe von Methoden, um Integrale zu verwenden, die Sie lernen müssen, um sich in der Integration zu qualifizieren. Zwei dieser Regeln, die zuerst in Kalkül II eingeführt wurden und den Schülern am meisten Probleme bereiten, sind die Verwendung von Teilbrüchen und die Integration nach Teilen. Insbesondere die Integration nach Teilen ist für Schüler, die direkt aus Kalkül I herauskommen, schwierig, da der Prozess der Ableitung von Derivaten meist ein direkter mechanischer Prozess ist, die Integration jedoch viel mehr Strategie und weniger spezifisches Denken im linearen Stil erfordert. Der Punkt, den ich hier ansprechen möchte, ist, dass der größte Teil Ihrer Frustration beim Umgang mit der Integration nach Teilen auf mangelnde Erfahrung mit der Integration zurückzuführen ist, nicht weil Sie das Material nicht verstehen.

Andererseits ist die Integration durch Teilfraktionen eine viel mechanischere Methode als die bei der Ableitung von Derivaten verwendeten. Obwohl es mechanischer Natur ist, besteht das Hauptproblem der Schüler bei Teilbrüchen darin, dass es sich um einen sehr einfachen Prozess handelt, der inmitten vieler anderer ziemlich komplizierter Prozesse gelehrt wird. Daher versuchen die Schüler, ihn viel schwieriger und komplizierter zu machen muss sein. Die Verwendung des Prozesses der Teilbrüche verwandelt Ihr Integrationsproblem in ein sehr einfaches Logikproblem, bei dem Sie versuchen, einige Konstanten (A, B, C, …) in einer Gleichung einer Variablen zu finden. Zum Beispiel könnten Sie für alle x so etwas wie 6 = A (x-2) + Bx haben. Sie könnten x = 2 lassen, und das gibt Ihnen schnell die Konstante B = 3. Da Sie 6 = A (x-2) + 3x haben, erhalten Sie 6 = A +, wenn Sie x = 3 lassen 9 und A = -3. Dieses einfache Beispiel zeigt Ihr Hauptwerkzeug beim Auffinden dieser Konstanten: Bearbeiten des Werts von x.

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